Question

5．数列{a_n}中，a₁=6，a₂=2，且a_n+2-a_n=1+（-1）ⁿ，则S₂₀₁₆=1023120．

Answer 1

分析 a₁=6，a₂=2，且a_n+2-a_n=1+（-1）ⁿ，n=2k-1（k∈N^*）时，a_2k+1-a_2k-1=0，因此a_2k+1=a_2k-1=a₁=6．n=2k（k∈N^*）时，a_2k+2-a_2k=2，因此数列{a_2k}为等差数列，公差为2，首项为2．利用等差数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：∵a₁=6，a₂=2，且a_n+2-a_n=1+（-1）ⁿ，
∴n=2k-1（k∈N^*）时，a_2k+1-a_2k-1=0，因此a_2k+1=a_2k-1=a₁=6．
n=2k（k∈N^*）时，a_2k+2-a_2k=2，因此数列{a_2k}为等差数列，公差为2，首项为2．
则S₂₀₁₆=（a₁+a₃+…+a₂₀₁₅）+（a₂+a₄+…+a₂₀₁₆）
=6×1008+2×1008+$\frac{1008×1007}{2}×2$
=1023120，
故答案为：1023120．

点评 本题考查了“分组求和”、等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．