Question

13．已知a≥0，b≥0，求证：$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$≥（$\frac{a+b}{2}$）²．

Answer 1

分析 由a≥0，b≥0，运用作差法，通过分解因式，以及非负数的概念，即可得证．

解答 证明：由a≥0，b≥0，
$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$-（$\frac{a+b}{2}$）²=$\frac{2{a}^{2}+2{b}^{2}}{4}$-$\frac{{a}^{2}+2ab+{b}^{2}}{4}$
=$\frac{{a}^{2}-2ab+{b}^{2}}{4}$=$\frac{（a-b）^{2}}{4}$≥0，
当且仅当a=b，取得等号．
则$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$≥（$\frac{a+b}{2}$）²．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用作差比较法，考查推理能力，本题也可以运用分析法证明，属于基础题．