Question

4．已知抛物线C：y²=2px（p＞0），过点M（a，0）（a≠0）的直线l与C交于A（x₁，y₁）、B（x₂、y₂）两点．
（1）若a=$\frac{p}{2}$，求证：$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$是定值（O是坐标原点）；
（2）若y₁•y₂=m（m是确定的常数），求证：直线AB过定点，并求出此定点坐标；
（3）若AB的斜率为1，且|AB|≤2p，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）a=$\frac{p}{2}$时，设过点M的直线l为x=ty+$\frac{p}{2}$，与抛物线方程联立消去x，得关于y的一元二次方程，由根与系数的关系和数量积的坐标运算即可求出$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$为定值；
（2）设出直线AB的方程为x=ty+n，与抛物线方程联立消去x，得关于y的一元二次方程，由根与系数的关系得出y₁y₂的值，再由题意列出方程求出n的值，即可得出直线AB过定点；
（3）由题意写出直线AB的方程为y=x-a，与抛物线方程联立消去y，得关于x的一元二次方程，由根与系数的关系以及判别式△＞0，即可求出a的取值范围．

解答 解：（1）当a=$\frac{p}{2}$时，点M（$\frac{p}{2}$，0），
设直线l：x=ty+$\frac{p}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{x=ty+\frac{p}{2}}\end{array}\right.$，消去x，得
y²-2pty-p²=0，…2分
所以y₁y₂=-p²，
则x₁x₂=$\frac{{{y}_{1}}^{2}{{•y}_{2}}^{2}}{{4p}^{2}}$=$\frac{{p}^{2}}{4}$；…4分
$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$-p²=-$\frac{{3p}^{2}}{4}$为定值；…5分
（2）设直线AB：x=ty+n，
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{x=ty+n}\end{array}\right.$，消去x，得
y²-2pty-2pn=0，…7分
所以y₁y₂=-2pn，
又y₁•y₂=m，则-2pn=m，即n=-$\frac{m}{2p}$；…9分
则直线AB过定点（-$\frac{m}{2p}$，0）；…10分
（3）由题意：直线AB的方程为：y=x-a，
代入抛物线得：x²-2（a+p）x+a²=0，
由△=4（a+p）²-4a²＞0得：a＞-$\frac{p}{2}$；…13分
x₁+x₂=2（a+p），x₁x₂=a²，
所以|AB|=$\sqrt{2}$|x₁-x₂|=2$\sqrt{2}$$\sqrt{2ap{+p}^{2}}$≤2p，
解得a≤-$\frac{p}{4}$；…15分
所以a的取值范围是（-$\frac{p}{2}$，-$\frac{p}{4}$]…16分．

点评 本题考查了直线与抛物线方程的应用问题，也考查了直线过定点以及弦长公式的应用问题，考查了二元二次方程组的应用问题，是综合性题目．