Question

17．某晚会有2个歌唱节目和5个舞蹈节目依次表演，分别按照下列要求，可以排多少种节自单？（用数字作答）
（1）2个唱歌节目连续表演，5个舞蹈也连续表演；
（2）歌唱节目A不能在第一个，歌唱节目B也不能在最后一个表演；
（3）歌唱节目A，B之间至少安排3个舞蹈节目．

Answer 1

分析 （1）分别把2个唱歌节目捆绑在一起，5个舞蹈也捆绑在一起，再全排，问题得以解决．
（2）分两类，第一类，若歌唱节目A在最后一个，第二类，若歌唱节目A不在最后一个，根据分类计数原理可得．
（3）分三类，第一类，歌唱节目A，B之间安排3个舞蹈节目，第二类，歌唱节目A，B之间安排4个舞蹈节目，第三类，歌唱节目A，B之间安排5个舞蹈节目，根据分类计数原理可得．

解答 解（1）分别把2个唱歌节目捆绑在一起，5个舞蹈也捆绑在一起，再全排，故有A₅⁵A₂²A₂²=480种，
（2）分两类，第一类，若歌唱节目A在最后一个，其余节目全排，故有A₆⁶=720种，
第二类，若歌唱节目A不在最后一个，先从5个舞蹈中选一个排在最后，再从歌唱节目B和另外的4个舞蹈节目选1个排在第一个，其余的任意排，
A₅¹A₅¹A₅⁵=3000种，
根据分类计数原理，共有3000+720=3720种，
（3）分三类，第一类，歌唱节目A，B之间安排3个舞蹈节目，先从5个舞蹈节目中选3个排在A，B之间，和A，B捆绑在一起，再和剩下的2个舞蹈节目全排，
故有A₅³A₂²A₃³=720种
第二类，歌唱节目A，B之间安排4个舞蹈节目，先从5个舞蹈节目中选4个排在A，B之间，和A，B捆绑在一起，再和剩下的1个舞蹈节目全排，
故有A₅⁴A₂²A₂²=480种，
第三类，歌唱节目A，B之间安排5个舞蹈节目，故有A₅⁵A₂²=240种，
根据分类计数原理，共有720+480+240=1440种．

点评 本题是一个排列组合典型，实际上所有的排列都可以看作是先取组合，再做全排列；同样，组合如补充一个阶段（排序）可转化为排列问题．