Question

12．已知F₁，F₂是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的两个焦点，P为椭圆上任意一点，且$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$．若△PF₁F₂的面积为9，则b=3．

Answer 1

分析 运用椭圆的定义，可得PF₁+PF₂=2a．再由勾股定理，即可得到PF₁•PF₂的值．再由面积公式即可得到b的值．

解答 解：椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，
则PF₁+PF₂=2a，
由$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$，
∴$\overline{P{F}_{1}}$⊥$\overline{P{F}_{2}}$，
由勾股定理可知：PF₁²+PF₂²=F₁F₂²，
∴（PF₁+PF₂）²-2PF₁•PF₂=4c²，4a²-2PF₁•PF₂=4c²，
2PF₁•PF₂=4a²-4c²=4b²，
∴PF₁•PF₂=2b²，
则△PF₁F₂的面积为S=$\frac{1}{2}$PF₁•PF₂=b²．
由△PF₁F₂的面积为9，
∴b=3，
故答案为：3．

点评 本题考查椭圆的方程和定义及性质，考查运算能力，属于中档题．