Question

17．已知函数f（x）=x+$\frac{{a}^{2}}{x}$-3．g（x）=x+lnx．其中a＞0，F（x）=f（x）+g（x）
（1）若x=$\frac{1}{2}$是函数y=F（x）的极值点，求实数a的值
（2）若函数y=f（x）在区间[1，2]上有两个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到F′（$\frac{1}{2}$）=4-4a²=0，解出即可；
（2）问题转化为函数y=-x²+3x的图象与直线y=a²在[1，2]上有2个交点，结合二次函数的性质求出a的范围即可．

解答 解：F（x）=2x+$\frac{{a}^{2}}{x}$+lnx-3，F′（x）=2-$\frac{{a}^{2}}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$，
（1）∵x=$\frac{1}{2}$是函数y=F（x）的极值点，
∴F′（$\frac{1}{2}$）=4-4a²=0（a＞0），解得：a=1；
（2）∵函数y=f（x）在区间[1，2]上有两个零点，
∴方程a²=-x²+3x在[1，2]上有2个不等实根，
即函数y=-x²+3x的图象与直线y=a²在[1，2]上有2个交点，
∵函数y=-x²+3x=-${（x-\frac{3}{2}）}^{2}$+$\frac{9}{4}$在[1，2]上的值域是[2，$\frac{9}{4}$]，
∴2≤a²＜$\frac{9}{4}$（a＞0），解得：$\sqrt{2}$≤a＜$\frac{3}{2}$，
故实数a的范围是[$\sqrt{2}$，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，考查转化思想，是一道中档题．