Question

18．已知数列{a_n}是等比数列，a₂•a₅=$\frac{32}{9}$，点M（a₁，2-3a₆）在直线y=3x-31上
（1）求a₈的值；
（2）若数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=21，求n的值．

Answer 1

分析 （1）运用等比数列的性质，可得a₂•a₅=a₁•a₆，再由点满足直线方程，可得a₁+a₆=11，解方程可得公比q，由等比数列的通项公式可得所求值；
（2）运用等比数列的求和公式：S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$，计算即可得到所求值．

解答 解：（1）由等比数列的性质可得a₂•a₅=a₁•a₆=$\frac{32}{9}$，
点M（a₁，2-3a₆）在直线y=3x-31上，可得
2-3a₆=3a₁-31，即为a₁+a₆=11，
解得a₁=$\frac{1}{3}$，a₆=$\frac{32}{3}$或a₆=$\frac{1}{3}$，a₁=$\frac{32}{3}$，
设公比q，即有q⁵=32或$\frac{1}{32}$，解得q=2或$\frac{1}{2}$，
则a₈=a₁q⁷=$\frac{1}{3}$•2⁷=$\frac{128}{3}$；或a₈=a₁q⁷=$\frac{32}{3}$•（$\frac{1}{2}$）⁷=$\frac{1}{12}$；
（2）S_n=21，即为
$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{\frac{1}{3}（1-{2}^{n}）}{1-2}$=21，解得n=6；
或$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{\frac{32}{3}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=21，解得n=6．
综上可得，n=6．

点评 本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，注意运用等比数列的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．