Question

7．已知在△ABC中，tanB（sinA-sinC）=cosC-cosA，则△ABC为（　　）

• A． 等腰三角形
• B． ∠B=60°的三角形
• C． 等腰三角形或∠B=60°的三角形
• D． 等腰直三角形

Answer 1

分析 利用三角函数的和差化积公式进行化简即可得到结论．

解答 解：∵tanB（sinA-sinC）=cosC-cosA，
∴tanB•2cos$\frac{A+C}{2}$sin$\frac{A-C}{2}$=-2sin$\frac{A+C}{2}$sin$\frac{A-C}{2}$，
即sin$\frac{A-C}{2}$=0或tanB•cos$\frac{A+C}{2}$=-sin$\frac{A+C}{2}$，
若sin$\frac{A-C}{2}$=0，则A=C，此时三角形为等腰三角形．
若tanB•cos$\frac{A+C}{2}$=-sin$\frac{A+C}{2}$，
则tanB=-tan$\frac{A+C}{2}$=-tan（$\frac{π-B}{2}$）=-tan（$\frac{π}{2}$-$\frac{B}{2}$）=-cot$\frac{B}{2}$，
即$\frac{2tan\frac{B}{2}}{1-ta{n}^{2}\frac{B}{2}}$=-cot$\frac{B}{2}$=-$\frac{1}{tan\frac{B}{2}}$，
即2tan²$\frac{B}{2}$=-1+tan²$\frac{B}{2}$，
即tan²$\frac{B}{2}$=-1，此时不成立，
综上△ABC为等腰三角形，
故选：A．

点评 本题主要考查三角形形状的判断，利用三角函数的和差化积公式进行化简是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．