Question

6．函数f（x）=axⁿ（1-x）（x＞0，n∈N^*），当n=-2时，f（x）的极大值为$\frac{4}{27}$．
（1）求a的值；
（2）求证：f（x）+lnx≤0；
（3）求证：f（x）＜$\frac{1}{ne}$．

Answer 1

分析 （1）求出函数的对数，根据n=2时，f（x）的极大值为$\frac{4}{27}$，得到f（$\frac{2}{3}$）=a•$\frac{4}{9}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{27}$，解出即可；
（2）问题转化为证xⁿ（1-x）+lnx≤0，设g（x）=xⁿ（1-x）+lnx，根据函数的单调性证明即可；
（3）求出f（x）的最大值，问题转化为证明：${（\frac{n}{n+1}）}^{n+1}$＜$\frac{1}{e}$，通过取对数结合换元思想以及函数的单调性证明即可．

解答 解：（1）n=2时，f（x）=ax²（1-x），
∴f′（x）=ax（2-3x），
令f′（x）=0得：x=0或x=$\frac{2}{3}$，
∵n=2时，f（x）的极大值为$\frac{4}{27}$，
故a＞0，且f（$\frac{2}{3}$）=a•$\frac{4}{9}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{27}$，解得：a=1；
（2）要证f（x）+lnx≤0，即证xⁿ（1-x）+lnx≤0，
设g（x）=xⁿ（1-x）+lnx，定义域是（0，+∞），
则g′（x）=$\frac{（1-x）[1+x{+x}^{2}+…+（n+1{）x}^{n}]}{x}$，
∵x＞0，∴x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）递增，
x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）递减，
∴g（x）的最大值是g（1）=0，∴g（x）≤0成立，命题得证；
（3）∵f（x）=xⁿ（1-x），∴f′（x）=nx^n-1-（n+1）xⁿ=（n+1）x^n-1（$\frac{n}{n+1}$-x），
显然，f（x）在x=$\frac{n}{n+1}$处取得最大值，f（$\frac{n}{n+1}$）=$\frac{{n}^{n}}{{（n+1）}^{n+1}}$，
因此只需证：$\frac{{n}^{n}}{{（n+1）}^{n+1}}$＜$\frac{1}{ne}$，即证：${（\frac{n}{n+1}）}^{n+1}$＜$\frac{1}{e}$，
两边取对数，原式ln$\frac{n}{n+1}$＜-$\frac{1}{n+1}$，
设t=$\frac{n}{n+1}$（0＜t＜1），则n=$\frac{t}{1-t}$，$\frac{1}{n+1}$=1-t，
因此只需证：lnt＜t-1即可，
令ω（t）=lnt-t+1，∵0＜t＜1，
∴ω′（t）=$\frac{1}{t}$-1＞0，ω（t）在（0，1）递增，
故ω（t）＜ω（1）=0成立，
即lnt＜t-1，结论成立．

点评 本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．