Question

17．对于函数f（x），若存在区间A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“同域函数”，区间A为函数f（x）的一个“同域区间”．给出下列四个函数：
①f（x）=cos$\frac{π}{2}$x；
②f（x）=x²-1；
③f（x）=|2^x-1|；
④f（x）=log₂（x-1）．
存在“同域区间”的“同域函数”的序号是②③（请写出所有正确结论的序号）．

Answer 1

分析 由“同域函数”及“同域区间”的定义可看出，当方程f（x）=x至少有两个不同解时，函数f（x）存在“同域区间”，并且该函数为“同域函数”，从而根据函数y=f（x）和y=x的交点情况或直接解方程f（x）=x即可判断方程f（x）=x解的情况，从而判断函数f（x）是否为“同域函数”．

解答 解：根据题意知，同域函数y=f（x）满足方程f（x）=x至少有两个不同解；
①函数f（x）=$cos\frac{π}{2}x$和y=x的图象只一个交点，∴方程$cos\frac{π}{2}x=x$只一个解；
∴该函数不是“同域函数”；
②由x²-1=x得，x²-x-1=0，△=1+4＞0；
∴该方程有两个不同实数根；
∴该函数是“同域函数”；
③解|2^x-1|=x得，x=0，或1；
∴该函数为“同域函数”；
④方程log₂（x-1）=x无解；
∴该函数不是“同域函数”；
∴存在“同域区间”的“同域函数”的序号是②③．
故答案为：②③．

点评 考查对“同域区间”和“同域函数”的理解，能得出判断方程f（x）=x是否至少有两个不同解，从而判断函数f（x）是否为“同域函数”是解决本题的关键，函数图象的平移，通过函数图象的交点情况判断方程解的情况的方法，以及根据判别式的符号判断一元二次方程解的情况的方法．