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    2．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距为4$\sqrt{3}$，且椭圆C过点（2$\sqrt{3}$，1）．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）设椭圆C与y轴负半轴的交点为B，如果直线y=kx+1（k≠0）交椭圆C于不同的两点E、F，且B，E，F构成以EF为底边，B为顶点的等腰三角形，判断直线EF与圆x2+y2=$\frac{1}{2}$的位置关系．

    分析 （I）由题可知c=2$\sqrt{3}$，又a2-b2=c2，将点（2$\sqrt{3}$，1）代入椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
    （II）设交点为E（x1，y1），F（x2，y2），EF的中点M的坐标为（xM，yM），联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，可得M的坐标，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得直线EF的方程，再求圆心到直线的距离，与班级比较，即可得到所求位置关系．

    解答 解：（I）由题可知c=2$\sqrt{3}$，a2-b2=c2，
    将点（2$\sqrt{3}$，1）代入椭圆方程可得$\frac{12}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=1，解得a=4，b=2，
    则椭圆C方程是$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；                  
    （II）设交点为E（x1，y1），F（x2，y2），EF的中点M的坐标为（xM，yM），
    由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=16}\end{array}\right.$，得（1+4k2）x2+8kx-12=0，
    由题可知△=64k2-4（1+4k2）（-12）＞0恒成立，
    x1+x2=-$\frac{8k}{1+4{k}^{2}}$，x1x2=-$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$，
    可得xM=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{4k}{1+4{k}^{2}}$，yM=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=1+$\frac{k（{x}_{1}+{x}_{2}）}{2}$=$\frac{1}{1+4{k}^{2}}$，
    因为△BEF是以EF为底边，B为顶点的等腰角形，所以EF⊥BM．
    因此BM的斜率kBM=-$\frac{1}{k}$，又点B的坐标为（0，-2），
    所以kBM=$\frac{{y}_{M}+2}{{x}_{M}-0}$=-$\frac{3+8{k}^{2}}{4k}$，即-$\frac{3+8{k}^{2}}{4k}$=-$\frac{1}{k}$，
    解得k=±$\frac{\sqrt{2}}{4}$，故EF的直线方程为±$\sqrt{2}$x-4y+4=0，
    又因为圆x2+y2=$\frac{1}{2}$的圆心（0，0）到直线EF的距离d=$\frac{4}{\sqrt{18}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
    所以直线EF与圆x2+y2=$\frac{1}{2}$相离．

    点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的焦距和点满足椭圆方程，考查直线和圆的位置关系的判断，注意运用圆心到直线的距离和半径的关系，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

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