Question

9．在某学校一次考试的语文与历史成绩中，随机抽取了25位考生的成绩进行分析，25位考生的语文成绩已经统计在茎叶图中，历史成绩如下：
（Ⅰ）请根据数据在茎叶图中完成历史成绩统计；
（Ⅱ）请根据数据完成语文成绩的频数分布表及语文成绩的频率分布直方图；

语文成绩的频数分布表：

语文成绩分组	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）	[110，120]
频数

（Ⅲ）设上述样本中第i位考生的语文、历史成绩分别为x_i，y_i（i=1，2，…，25）．通过对样本数据进行初步处理发现：语文、历史成绩具有线性相关关系，得到：
$\overline{x}$=$\frac{1}{25}$$\sum_{i=1}^{25}$x_i=86，$\overline{y}$=$\frac{1}{25}$$\sum_{i=1}^{25}$y_i=64，$\sum_{i=1}^{25}$（x_i-$\overline{x}$）（y_i-$\overline{y}$）=4698，$\sum_{i=1}^{25}$（x_i-$\overline{x}$）²=5524，$\frac{4698}{5524}$≈0.85．
①求y关于x的线性回归方程；
②并据此预测，当某考生的语文成绩为100分时，该生历史成绩．（精确到0.1分）
附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}•{y}_{i}-\overline{n}x•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据所给数据，可得历史成绩的茎叶图；
（Ⅱ）根据所给数据，可得语文成绩的频数分布表及语文成绩的频率分布直方图；
（Ⅲ）求出a，b，可得y关于x的线性回归方程，并据此预测当某考生的语文成绩为100分时，该考生的历史成绩．

解答 解：（Ⅰ）根据题意，在茎叶图中完成历史成绩统计，如图所示；
（Ⅱ）语文成绩的频数分布表；

语文成绩分组	[50，60﹚	[60，70﹚	[70，80﹚	[80，90﹚	[90，100﹚	[100，110﹚	[110，120]
频数	1	2	3	7	6	5	1

语文成绩的频率分布直方图：

（Ⅲ）由已知得b=0.85，a=64-0.85×86=-9.1，
∴y=0.85x-9.1，
∴x=100时，y=75.9≈76，
预测当某考生的语文成绩为100分时，该考生的历史成绩为76分．

点评 本题考查茎叶图、数学成绩的频数分布表及数学成绩的频率分布直方图，考查线性回归方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．