Question

已知O为坐标原点，

OA

=(2cos2x，1)，

OB

=(1，

3

sin2x+a)（x∈R，a∈R，a是常数），若y=

OA

•

OB

（1）求y关于x的函数关系式f（x）；
（2）若f（x）的最大值为2，求a的值；
（3）利用（2）的结论，用“五点法”作出函数f（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图，并指出其单调区间．

Answer 1

分析：（1）把

OA

和

OB

的坐标，代入函数解析式，利用向量积的运算求得函数解析式．
（2）利用二倍角公式对函数解析式化简整理，利用正弦函数的性质表示出函数的最大值，求得a．
（3）利用（2）中的函数解析式，根据正弦函数的单调性求得函数的单调增区间和减区间．

解答：解：（1）∵

OA

=(2cos2x，1)，

OB

=(1，

3

sin2x+a)
∴y=

OA

•

OB

=2cos2x+

3

sin2x+a

（2）由（1）得y=2cos2x+

3

sin2x+a
=1+cos2x+

3

sin2x+a
=cos2x+

3

sin2x+a+1
=2(

1

2

cos2x+

3

2

sin2x)+a+1
=2(sin

π

6

cos2x+cos

π

6

sin2x)+a+1
=2sin(2x+

π

6

)+a+1
当sin(2x+

π

6

)=1时，y_max=2+a+1=3+a
又∵y_max=2
∴3+a=2
∴a=-1

（3）由（2）得，y=2sin(2x+

π

6

)
增区间是：[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ](k∈Z)，
减区间是：[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ](k∈Z)．

点评：本题主要考查了三角函数的最值，二倍角的化简求值，平面向量的数量积的运算．考查了对三角函数基础知识的综合应用．