Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且Sn=

1

2

n2+

11

2

n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=

1

(2an-11)(2an-9)

，数列{c_n}的前n项和为T_n，求使不等式T_n＞

k

2013

对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值；
（Ⅲ）设f（n）=

an ，(n=2k-1，k∈N*) 3an-13 ，(n=2k，k∈N*)

是否存在m∈N^*，使得f（m+15）=5f（m）成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）利用当n=1时，a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1即可得出；
（II）利用“裂项求和”即可得出T_n，再利用其单调性即可得出k的最大值；
（III）利用（I）求出f（n），再对m分为奇数和偶数讨论即可得出．

解答：解：（I）当n=1时，a1=S1=

1

2

+

11

2

=6．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=(

1

2

n2+

11

2

n)-[

1

2

(n-1)2+

11

2

(n-1)]=n+5．
此式对于n=1时也成立．
因此an=n+5(n∈N*)．
（II）∵cn=

1

(2an-11)(2an-9)

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴T_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．
∵T_n+1-T_n=

n+1

2n+3

-

n

2n+1

=

1

(2n+3)(2n+1)

＞0，∴数列{

n

2n+1

}单调递增，
∴（T_n）_min=T₁=

1

3

．令

1

3

＞

k

2013

，解得k＜671，∴k_max=670．
（III）f（n）=

an ，(n=2k-1，k∈N*) 3an-13 ，(n=2k，k∈N*)

=

n+5，(n=2k-1，k∈N*) 3n+2，(n=2k，k∈N*)

，
（1）当m为奇数时，m+15为偶数，∴3m+47=5m+25，解得m=11．
（2）当m为偶数时，m+15为奇数，∴m+20=15m+10，解得m=

5

7

∉N*（舍去）．
综上可知：存在唯一的正整数m=11，使得f（m+15）=5f（m）成立．

点评：熟练掌握“利用当n=1时，a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1即可得出a_n”、“裂项求和”、数列的单调性、分类讨论的思想方法等是解题的关键．