Question

4．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=$\frac{4}{3}$（a_n-1），则满足不等式a_n＞2ⁿ⁺¹⁶的最小正整数n的值为（　　）

• A． 12
• B． 14
• C． 16
• D． 17

Answer 1

分析 利用递推关系、等比数列的通项公式可得a_n，再利用指数函数的单调性即可得出．

解答 解：∵S_n=$\frac{4}{3}$（a_n-1），∴当n=1时，${a}_{1}=\frac{4}{3}（{a}_{1}-1）$，解得a₁=4．
当n≥2时，S_n-1=$\frac{4}{3}（{a}_{n-1}-1）$，可得a_n=$\frac{4}{3}（{a}_{n}-{a}_{n-1}）$，化为：a_n=4a_n-1．
∴数列{a_n}是等比数列，首项为4，公比为4．
∴a_n=4ⁿ．
不等式a_n＞2ⁿ⁺¹⁶化为：2²ⁿ＞2ⁿ⁺¹⁶，∴2n＞n+16，解得n＞16．
∴满足不等式a_n＞2ⁿ⁺¹⁶的最小正整数n的值为17．
故选：D．

点评 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式、指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．