Question

9．已知数列{a_n}中，${a_1}=2，{a_{n+1}}=2{a_n}-2n+2，n∈{N^*}$．
（Ⅰ）记b_n=a_n-2n，求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项的和为S_n，数列{c_n}满足${c_n}=\frac{1}{{{S_{n+1}}}}+\frac{1}{{{S_{n+2}}}}+…+\frac{1}{{{S_{2n}}}}$，若对任意的正整数n，当m∈[-2，4]时，不等式6t²-12mt+1＞6c_n恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （I）由${a_1}=2，{a_{n+1}}=2{a_n}-2n+2，n∈{N^*}$，变形为a_n+1-2（n+1）=2[a_n-2n]，b_n=a_n-2n，即b_n+1=2b_n，即可得出．
（II）由（I）可得：b_n=a_n-2n=0，解得a_n=2n，可得数列{a_n}的前n项的和为S_n=n²+n．可得$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．利用“裂项求和”可得c_n．可得（c_n）_max．根据对任意的正整数n，当m∈[-2，4]时，不等式6t²-12mt+1＞6c_n恒成立，即可得出．

解答 解：（I）∵${a_1}=2，{a_{n+1}}=2{a_n}-2n+2，n∈{N^*}$，
∴a_n+1-2（n+1）=2[a_n-2n]，b_n=a_n-2n，
∴b_n+1=2b_n，
而b₁=a₁-2=0，
可得b_n=0．
（II）由（I）可得：b_n=a_n-2n=0，解得a_n=2n，
∴数列{a_n}的前n项的和为S_n=$\frac{n（2+2n）}{2}$=n²+n．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴${c_n}=\frac{1}{{{S_{n+1}}}}+\frac{1}{{{S_{n+2}}}}+…+\frac{1}{{{S_{2n}}}}$=$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$+$（\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}）$+…+$（\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{2n+1}$=$\frac{n}{2{n}^{2}+3n+1}$=$\frac{1}{2n+\frac{1}{n}+3}$≤$\frac{1}{6}$，
∴（c_n）_max=$\frac{1}{6}$．
∵对任意的正整数n，当m∈[-2，4]时，不等式6t²-12mt+1＞6c_n恒成立，
∴6t²-12mt+1＞1，
化为：t（t-2m）＞0，
当m∈（0，4]时，解得t＜0，或t＞8；
当m=0时，解得t≠0；
当m∈[-2，0）时，解得t＜-4，或t＞0．
综上可得：t＞8，或t＜-4．
∴实数t的取值范围是t＞8，或t＜-4．

点评 本题考查了“裂项求和”、数列的通项公式、不等式的性质，考查了分类讨论方法、变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．