Question

已知函数．
（I）求函数f（x）的周期及单调递增区间；
（II）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点经过函数f（x）的图象，b，a，c成等差数列，且，求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（2x+），由此求得周期的值，再令2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可得到函数的单调递增区间．
（II）在△ABC中，由f（A）=sin（2A+）=，求得A=．再由 b，a，c成等差数列，求得bc=18，再由余弦定理可得 a²=b²+c²-2bc•cosA 求得a的值．
解答：解：（I）∵函数f（x）==sincos2x-cossin2x+cos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+）．
故函数f（x）的周期为T==π．
再令 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得 kπ-≤x≤kπ+，k∈z，故单调递增区间为[kπ-，kπ+]，k∈z．
（II）在△ABC中，由题意可得f（A）=sin（2A+）=，∴2A+=，∴A=．
再由 b，a，c成等差数列，可得2a=b+c，再由  可得 bc•cosA=9，∴bc=18．
再由余弦定理可得 a²=b²+c²-2bc•cosA=（b+c）²-3bc=4a²-3×18，解得 a²=18，
∴a=3．
点评：题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性、单调性和求法，余弦定理以及等差数列的性质应用，属于中档题．