Question

若n∈N，则6ⁿ+C_n¹6^n-1+C_n²6^n-2+…+C_n^n-16被8除所得的余数是

0或6

．

Answer 1

分析：由题意可得6ⁿ+C_n¹6^n-1+C_n²6^n-2+…+C_n^n-16=（6+1）ⁿ-1=7ⁿ-1，而7ⁿ=（8-1）ⁿ=C_n⁰8ⁿ-C_n¹8^n-1+C_n²8^n-2+…C_n^n-1•8•（-1）^n-1+C_nⁿ（-1）ⁿ
则6ⁿ+C_n¹6^n-1+C_n²6^n-2+…+C_n^n-16=C_n⁰8ⁿ+C_n¹8^n-1（-1）ⁿ+…+C_n^n-18（-1）^n-1+C_nⁿ（-1）ⁿ-1，分n为偶数时，n为奇数两种情况讨论

解答：解：由题意可得6ⁿ+C_n¹6^n-1+C_n²6^n-2+…+C_n^n-16=（6+1）ⁿ-1=7ⁿ-1
7ⁿ=（8-1）ⁿ=C_n⁰8ⁿ-C_n¹8^n-1+C_n²8^n-2+…C_n^n-1•8•（-1）^n-1+C_nⁿ（-1）ⁿ
则6ⁿ+C_n¹6^n-1+C_n²6^n-2+…+C_n^n-16=C_n⁰8ⁿ+C_n¹8^n-1（-1）ⁿ+…+C_n^n-18（-1）^n-1+C_nⁿ（-1）ⁿ-1
当n为偶数时，余数为0
当n为奇数时余数为6
故答案为：0或6

点评：本题主要考查了二项展开式在整除问题中的应用，解题的关键是要能看到已知条件是（6+1）ⁿ=7ⁿ=（8-1）ⁿ的展开式的一部分