Question

已知f（x）=lnx，（a∈R）．
（1）求f（x）-g（x）的单调区间；
（2）若x≥1时，f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1），
当△=1+4a≤0，即时，F′（x）≤0，
∴F（x）在（0，+∞）上单调递减
当△＞0，即时，，
①时，x₁≤0，x₂＞0，单调增区间为（0，x₂），单调减区间为（x₂，+∞）
②a＞0时，x₁＞0，x₂＞0，单调增区间为（x₁，x₂），，单调减区间为（0，x₁），（x₂，+∞）
综上：①时，F（x）在（0，+∞）上单调递减
②时，x₁≤0，x₂＞0，单调增区间为（0，x₂），单调减区间为（x₂，+∞）
③a＞0时，x₁＞0，x₂＞0，单调增区间为（x₁，x₂），单调减区间为（0，x₁），（x₂，+∞）
（2）恒成立，等价于a≥[xlnx-x²]_max
k（x）=xlnx-x²，k′（x）=1+lnx-2x，
k′（x）在[1，+∞）上单调递减，
k′（x）≤k′（1）=-1＜0，
k（x）在[1，+∞）上单调递减，
∴k（x）的最大值为k（1）=-1，
所以a≥-1
分析：（1）构造新函数，对于新函数求导，利用二次函数的判别式整理出函数的单调性，讨论a的值，根据a的值不同求出函数的导函数与0的关系不同，写出对应的函数的单调区间．
（2）函数恒成立等价于a≥[xlnx-x²]_max．构造新函数只要求出新函数的最大值，问题就可以解决，根据函数的单调性求函数的最值，得到结果．
点评：不同考查函数利用导数求最值，不同解题的关键是求出构造的新函数的最值，这种函数的思想在函数综合题目中应用的比较多．