Question

【题目】已知一个动点P在圆x2+y2=36上移动，它与定点Q（4，0）所连线段的中点为M．
（1）求点M的轨迹方程．
（2）过定点（0，﹣3）的直线l与点M的轨迹交于不同的两点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）且满足 + = ，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：设M（x，y），动点P（x1，y1），

由中点的坐标公式解得x1=2x﹣4，y1=2y，

由x12+y12=36，得（2x﹣4）2+（2y）2=36，

∴点M的轨迹方程是（x﹣2）2+y2=9

（2）解：当直线L的斜率不存在时，直线L：x=0，与圆M交于 ，

此时x1=x2=0，不合题意．

当直线L的斜率存在时，设直线L：y=kx﹣3，则 ，

消去y，得（1+k2）x2﹣（4+6k）x+4=0， ，

由已知 ，经检验△＞0．

综上：直线L为：x﹣y﹣3=0，17x﹣7y﹣21=0

【解析】（1）利用代入法求点M的轨迹方程．（2）当直线L的斜率不存在时，直线L：x=0，满足条件，当直线L的斜率存在时，设直线L：y=kx﹣3，联立直线与圆的方程，利用韦达定理，可求出满足条件的k值，进而得到直线L的方程，最后综合讨论结果，可得答案．