Question

设数列满足a1=0，an+1=an+

an+ 1 4

+

1

4

，令bn=

an+ 1 4

．
（Ⅰ）证明数列{b_n}是等差数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若存在m，n∈N^*，n≤10使得b₆，a_m，a_n依次成等比数列，试确定m，n的值．

Answer 1

分析：由已知可得an+1+

1

4

=an+

1

4

+

an+ 1 4

+

1

4

，即可得bn+1=bn+

1

2

，b1=

1

2

，可证
（Ⅱ）由（1）知an=

n2-1

4

，代入可得（m²-1）²=12（n²-1），结合左面是完全平方数，则n²-1可设为3k，
则n²=3k+1，检验可求k，进而可求m，n

解答：（I ）证明：∵a1=0，an+1=an+

an+ 1 4

+

1

4

∴an+1+

1

4

=an+

1

4

+

an+ 1 4

+

1

4

∴

an+1+ 1 4

2= (

an+ 1 4

+

1

2

)2
∵bn=

an+ 1 4

．
∴bn+1=bn+

1

2

，b1=

1

2

∴{b_n}是以

1

2

为公差，以

1

2

为首项的等差数列
由等差数列的通项公式可得，bn=

1

2

+

1

2

(n-1)=

1

2

n
（Ⅱ）解：由（1）知an=

n2-1

4

，
存在m，n∈N^*，n≤10使得b₆，a_m，a_n依次成等比数列
则3•

n2-1

4

=(

m2-1

4

)2，整理可得（m²-1）²=12（n²-1）
左面（m²-1）²是完全平方数，则12（n²-1）=4×3（n²-1）²也一定是完全平方数
∴n²-1可设为3k，k∈N^*，且k是完全平方数n≤10，
∴n²=3k+1
∴当k=1时，n=2，m不存在
当k=4时，n不存在
当k=9时，n不存在
当k=16时，m=5，n=7
综上可得k=16时，m=5，n=7

点评：本题主要考查了利用构造证明等差数列，及等差数列的通项公式的应用，解答（II）要求考生具备一定综合应用知识解决综合问题的能力．