Question

设数列{a_n}满足a₁=0且a_na_n+1-2a_n+1+1=0（n∈N^*）．
（I）证明：数列{

1

1-an

}是等差数列；
（II）设数列b_n=（a_n-1）²，S_n是数列{b_n}的前n项和，证明：

1

2

＜Sn＜2．

Answer 1

分析：（I）根据递推关系式a_na_n+1-2a_n+1+1=0，整理变形可得

1

1-an+1

-

1

1-an

=1，由等差数列的定义可得数列{

1

1-an

}是等差数列，故可求其通项公式，进而求出a_n．
（II）根据（I）知b_n，然后利用放缩法和裂项法求数列{b_n}的前n项和，即可证得结论．

解答：解：（I）由a_na_n+1-2a_n+1+1=0得1-a_n+1-a_n+1（1-a_n）=0，（n∈N^*）．
得，

1

1-an+1

-

1

1-an

=1
∴{

1

1-an

}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴

1

1-an

=n，即 an=1-

1

n

；
（II）由（I）题意可知：b_n=

1

n2

＞

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S_n＞1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

≥

1

2

又b_n=

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

（n≥2），
S_n＜1+1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n

=2-

1

n

＜2
即

1

2

＜S_n＜2．

点评：本题主要考查了等比差数列的定义、裂项法求和问题，和不等式与数列的综合，考查了学生对基础知识的综合运用，属于中档题．