Question

已知函数f（x）=

-x2+2x， x＞0 0，         x=0 x2+mx， x＜0

是奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）若函数f（x）在区间[-1，a-2]上单调递增，求实数a的取值范围；
（3）若函数f（x）=k有三个不同的实根，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由函数f（x）=

-x2+2x， x＞0 0，         x=0 x2+mx， x＜0

是奇函数，满足f（-x）=-f（x），可求出实数m的值；
（2）根据（1）求出函数的解析式，分析函数的单调性，结合函数f（x）在区间[-1，a-2]上单调递增，构造关于a的不等式，解不等式可得实数a的取值范围；
（3）若方程f（x）=k有三个不同的实根，则函数f（x）的图象与直线y=k有三个不同的交点，数形结合易得答案．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=

-x2+2x， x＞0 0，         x=0 x2+mx， x＜0

是奇函数，满足f（-x）=-f（x），
不妨令x=1，则f（-1）=-f（1），
即1-m=-（-1+2），
解得m=2，
经检验f（x）=

-x2+2x，x＞0 0，x=0 x2+2x，x＜0

，满足f（-x）=-f（x），
故m=2，
（2）函数f（x）=

-x2+2x，x＞0 0，x=0 x2+2x，x＜0

的图象如下图所示：

由图可知：函数f（x）的单调递增区间为[-1，1]，
若函数f（x）在区间[-1，a-2]上单调递增，
则-1＜a-2≤1，
解得a∈（1，3]，
故实数a的取值范围为（1，3]；
（3）若方程f（x）=k有三个不同的实根，
则函数f（x）的图象与直线y=k有三个不同的交点，
由（2）中图象可得：k∈（-1，1），
故实数k的取值范围为：（-1，1）．

点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查学生的计算能力，属于中档题．