Question

19．△ABC中，B=60°，最大边与最小边的比为$\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$，则△ABC的最大角为（　　）

• A． 60°
• B． 75°
• C． 90°
• D． 105°

Answer 1

分析 设a为最大边．，根据题意求得$\frac{sinA}{sinC}$的值，进而利用正弦的两角和公式展开后，化简整理求得tnaA的值，进而求得A．

解答 解：不妨设a为最大边．由题意，$\frac{a}{c}=\frac{sinA}{sinC}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
即$\frac{sinA}{sin（120°-A）}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
∴$\frac{sinA}{\frac{\sqrt{3}}{2}cosA+\frac{1}{2}sinA}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
∴整理可得：（3-$\sqrt{3}$）sinA=（3+$\sqrt{3}$）cosA，
∴tanA=2+$\sqrt{3}$，
∴A=75°．
故选：B．

点评 本题主要考查了正弦定理的应用．解题的关键是利用正弦定理把题设中关于边的问题转化为角的关系，属于中档题．