Question

如图，椭圆的左顶点为，是椭圆上异于点的任意一点，点与点关于点对称．

（1）若点的坐标为，求的值；
（2）若椭圆上存在点，使得，求的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）． （Ⅱ）．

解析试题分析：Ⅰ）解：依题意，是线段的中点，因为，，
所以 点的坐标为．      2分
由点在椭圆上，所以 ，                            4分
解得 ．                                                     5分
（Ⅱ）解：设，则 ，且．     ①          6分
因为 是线段的中点，
所以 ．                                             7分
因为 ，
所以 ．    ②                             8分
由 ①，② 消去，整理得 ．                         10分
所以 ，                       12分
当且仅当 时，上式等号成立．又
所以 的取值范围是．                                 13分
考点：本题主要考查椭圆的标准方程，椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，均值定理的应用。
点评：中档题，运用了椭圆的几何性质，a,b,c,e的关系要熟练掌握。曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。涉及直线垂直问题，利用斜率的坐标运算，得到m的表达式，利用均值定理得到其范围。本题难度不大，综合性较强。