已知椭圆
：
的离心率为
，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设
，
、
是椭圆上关于
轴对称的任意两个不同的点，连结
交椭圆于另一点
，求直线的斜率的取值范围；
(3)在(2)的条件下，证明直线
与轴相交于定点．
⑴
⑵
或
．⑶利用韦达定理及坐标运算即可证明
解析试题分析：⑴由题意知
，所以
，即
，又因为
，所以
，故椭圆的方程为：． 4分
⑵由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为
①
联立
消去
得：
， 6分
由
得
， 7分
又
不合题意，
所以直线的斜率的取值范围是或． 9分
⑶设点
，则
，直线的方程为
令
，得
，将
代入整理，得
． ② 12分
由得①
代入②整理，得
，
所以直线与轴相交于定点
． 14分
考点：本题考查了椭圆及直线与椭圆的位置关系
点评：椭圆的概念和性质，仍将是今后命题的热点，定值、最值、范围问题将有所加强；利用直线、弦长、圆锥曲线三者的关系组成的各类试题是解析几何中长盛不衰的主题，其中求解与相交弦有关的综合题仍是今后命题的重点；与其它知识的交汇(如向量、不等式)命题将是今后高考命题的一个新的重点、热点.
状元及第系列答案
同步奥数系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
：
的离心率为
，
分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆的焦距为2．
⑴求椭圆的方程；
⑵设
为椭圆上任意一点，以为圆心，
为半径作圆，当圆与椭圆的右准线
有公共点时，求△
面积的最大值．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知
，直线
，
为平面上的动点，过点作
的垂线，垂足为点
，且
．
（1）求动点的轨迹曲线
的方程；
（2）设动直线
与曲线相切于点
，且与直线
相交于点
，试探究：在坐标平面内是否存在一个定点
，使得以
为直径的圆恒过此定点？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，已知抛物线
的焦点在抛物线
上．
（1）求抛物线
的方程及其准线方程；
（2）过抛物线上的动点
作抛物线
的两条切线
、
， 切点为
、
．若、的斜率乘积为
，且
，求
的取值范围．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
设
是椭圆
的左焦点，直线
方程为
，直线与
轴交于
点，
、
分别为椭圆的左右顶点，已知
，且
．
(Ⅰ)求椭圆的标准方程；
(Ⅱ)过点且斜率为
的直线交椭圆于
、
两点，求三角形
面积．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，椭圆
的顶点为
，焦点为
，
. 
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
(Ⅱ)设n 为过原点的直线，
是与n垂直相交于P点，与椭圆相交于A, B两点的直线，
.是否存在上述直线使
成立？若存在，求出直线的方程；并说出；若不存在，请说明理由.
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与椭圆
相交于
，
两点，
为坐标原点.
的坐标为
，且四边形
为菱形时，求
的长；
上且不是
的左顶点为
，
是椭圆
上异于点
与点
，求
的值；
，求
有相同的焦点，求此双曲线方程．