Question

已知圆C₁：x²+y²=5和圆C₂：x²+y²=1，O是原点，点B在圆C₁上，OB交圆C₂于C．点D在 x轴上，

.

BD

•

.

OD

=0，AJ在BD上，

.

BD

•

.

CA

=0．
（1）求点A的轨迹H的方程
（2）过轨迹H的右焦点作直线交H于E、F，是否在y轴上存在点Q使得△QEF是正三角形；若存在，求出点q的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题设知B（

5

cosα，

5

sinα），C（cosα，sinα），D（

5

cosα，0），设A（x，y），由参数方程能够得到轨迹H的方程．
（2）由

my=x-2 x2+5y2=5

，得（m²+5）y²+4my-1=0，设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），EF的中点为T（x₀，y₀），y0=

y1+y2

2

=-

2m

m2+5

，x0=my0+2=

10

m2+5

，EF的中垂线为y+

2m

m2+5

=-m(x-

10

m2+5

)，由此能求出q的坐标．

解答：解：（1）由题设知B（

5

cosα，

5

sinα），C（cosα，sinα），D（

5

cosα，0），
设A（x，y），
∵

.

BD

•

.

CA

=0．
∴（0，-

5

sinα）•（x-cosα，y-sinα）=0，
由参数方程能够得到轨迹H的方程是

x2

5

 +y2=1．
（2）由

my=x-2 x2+5y2=5

⇒（m²+5）y²+4my-1=0，
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
EF的中点为T（x₀，y₀），
y0=

y1+y2

2

=-

2m

m2+5

，x0=my0+2=

10

m2+5

，
EF的中垂线为y+

2m

m2+5

=-m(x-

10

m2+5

)，
令x=0，得q=

8m

m2+5

，m∈R，
又|QT|=

3

2

|AB|，
则

100

(m2+5)2

+

100m2

(m2+5)2

=

3

4

•

20(1+m2)2

(m2+5)2

，
得m2=

17

3

，
q=±

51

4

．

点评：本题考查点的轨迹的求法和点的坐标的求法，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．