Question

12．已知数列{a_n}满足：a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{1}{{2-{a_n}}}$
（Ⅰ）求a₂，a₃；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）数列{a_n}的前n项和S_n； 证明s_n＜n-ln$\frac{n+2}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）代入计算即可得到所求值；
（Ⅱ）运用构造数列，两边减1，再取倒数，结合等差数列的通项公式，即可得到所求；
（Ⅲ）构造f（x）=ln（x+1）-x（x＞0），求出导数，运用单调性可得ln（x+1）＜x（x＞0），有$ln（1+\frac{1}{n+1}）＜\frac{1}{n+1}，1-\frac{1}{n+1}＜1-ln（1+\frac{1}{n+1}）$，即有$\frac{n}{n+1}$＜1-（ln（n+2）-ln（n+1）），再由累加法和裂项相消求和，即可得证．

解答 解：（Ⅰ）由a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{1}{{2-{a_n}}}$，
解得a₂=$\frac{1}{2-\frac{1}{2}}$=$\frac{2}{3}$，a₃=$\frac{1}{2-\frac{2}{3}}$=$\frac{3}{4}$；
（Ⅱ）由$a{\;}_{n+1}-1=\frac{1}{{2-a{\;}_n}}-1=\frac{{a{\;}_n-1}}{{2-a{\;}_n}}$，
所以$\frac{1}{{a{\;}_{n+1}-1}}=\frac{1}{{a{\;}_n-1}}-1$．
即有$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{\frac{1}{2}-1}$-（n-1）=-1-n，
所以${a_n}=\frac{n}{n+1}$；
（Ⅲ）证明：令f（x）=ln（x+1）-x（x＞0），
求导f′（x）=$\frac{1}{x+1}$-1=$\frac{-x}{x+1}$＜0，f（x）在（0，+∞）递减，
可得ln（x+1）＜x（x＞0），
有$ln（1+\frac{1}{n+1}）＜\frac{1}{n+1}，1-\frac{1}{n+1}＜1-ln（1+\frac{1}{n+1}）$，
即有$\frac{n}{n+1}$＜1-（ln（n+2）-ln（n+1）），
S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n＜n-（ln3-ln2）-（ln4-ln3）-…-（ln（n+2）-ln（n+1））
=n-ln（n+2）-ln2=n-ln$\frac{n+2}{2}$．
则原不等式成立．

点评 本题考查等差数列的通项公式的运用，考查不等式的证明，注意运用构造函数判断单调性证明，考查运算能力，属于中档题．