Question

4．下列命题中：
①若a＞0，则幂函数y=x^a在（0，+∞）上单调递增；
②函数y=f（1+x）与函数y=f（1-x）的图象关于直线x=1对称；
③若函数y=f（x-1）的图象关于x=1对称，则y=f（x）为偶函数；
④若f（x）是定义域为R的奇函数，对于任意的x∈R都有f（x）+f（2+x）=0，则函数f（x）的图象关于直线x=1对称，其中正确的命题的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据幂函数的单调性，可判断①；根据函数的对称变换，可判断②；根据函数图象的平移变换和奇偶性，可判断③；根据函数的奇偶性和对称性，可判断④．

解答 解：若a＞0，则幂函数y=x^a在（0，+∞）上单调递增，故①正确；
函数y=f（1+x）与函数y=f（1-x）的图象关于y轴对称，故②错误；
若函数y=f（x-1）的图象关于x=1对称，则函数y=f（x）的图象关于y轴对称，则y=f（x）为偶函数，故③正确；
若f（x）是定义域为R的奇函数，则f（x）+f（-x）=0恒成立，又由对于任意的x∈R都有f（x）+f（2+x）=0，则f（-x）=f（2+x）恒成立，故函数f（x）的图象关于直线x=1对称，故④正确；
故正确的命题的个数为3个，
故选：C

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的图象变换和性质，难度中档．