Question

16．已知函数f（x）=x（e^x+2x-1）+$\frac{1}{2}$．
（1）求证：函数F（x）=f（x）-x³-$\frac{1}{2}$仅有一个零点；
（2）记max{a，b}表示a，b中更大的数，比如max{3，-1}=3，max{$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$}=$\sqrt{2}$．设g（x）=ln|x|-|x|+1，h（x）=max{f（x），g（x）}（x≠0），求证：h（x）＞$\frac{3e-8}{8e}$．

Answer 1

分析 （1）F（x）=f（x）-x³-$\frac{1}{2}$=x（e^x+2x-1-x²）．由于F（0）=0，可得函数F（x）存在一个零点0．令G（x）=e^x+2x-1-x²．利用导数研究其单调性即可得出．
（2）函数f（x）=x（e^x+2x-1）+$\frac{1}{2}$．利用导数研究其单调性可得：当x＞0时，此时函数f（x）单调递增；当x＜0时，此时函数f（x）单调递减．于是f（x）≥f（0）=$\frac{1}{2}$．
g（x）=ln|x|-|x|+1=$\left\{\begin{array}{l}{lnx-x+1，x＞0}\\{ln（-x）+x+1，x＜0}\end{array}\right.$，利用导数研究其单调性可得：g（x）≤0恒成立．综上可知：h（x）=max{f（x），g（x）}（x≠0）=f（x）．
要证明h（x）=f（x）＞$\frac{3e-8}{8e}$．证明$\frac{3e-8}{8e}$＜$\frac{1}{2}$即可得出．

解答 证明：（1）F（x）=f（x）-x³-$\frac{1}{2}$=x（e^x+2x-1）+$\frac{1}{2}$-x³-$\frac{1}{2}$=x（e^x+2x-1-x²）．
∵F（0）=0，∴函数F（x）存在一个零点0．
令G（x）=e^x+2x-1-x²．
则G′（x）=e^x+2-2x，
G^″（x）=e^x-2，可知：当x=ln2时，函数G′（x）取得最小值，
∴G′（x）≥G′（ln2）=4-2ln2＞0，
∴函数G（x）在R上单调递增．
由于G（0）=0，
当x＜0时，G（0）＜0，则F（x）=xG（x）＞0；
当x＞0时，G（0）＞0，则F（x）=xG（x）＞0．
因此：函数F（x）=f（x）-x³-$\frac{1}{2}$仅有一个零点．
（2）函数f（x）=x（e^x+2x-1）+$\frac{1}{2}$．
f′（x）=e^x+xe^x+4x-1，
f^″（x）=2e^x+xe^x+4，
f^（3）（x）=3e^x+xe^x=（3+x）e^x，
可知当x=-3时，f^″（x）取得最小值，f^″（-3）=2-e^-3＞0．
∴f′（x）在R上单调递增，f′（0）=0，
∴当x＞0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增，无最大值；当x＜0时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．
∴f（x）≥f（0）=$\frac{1}{2}$．
g（x）=ln|x|-|x|+1=$\left\{\begin{array}{l}{lnx-x+1，x＞0}\\{ln（-x）+x+1，x＜0}\end{array}\right.$，
当x＞0时，g′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，可知：当x=1时，函数g（x）取得极大值即最大值，g（1）=0．
当x＜0时，g′（x）=$\frac{-1}{-x}$+1=$\frac{1}{x}$+1=$\frac{1+x}{x}$，可知：当x=-1时，函数g（x）取得极大值即最大值，g（-1）=0．
∴g（x）≤0恒成立．
综上可知：h（x）=max{f（x），g（x）}（x≠0）=f（x）．
要证明h（x）=f（x）＞$\frac{3e-8}{8e}$．而$\frac{3e-8}{8e}$-$\frac{1}{2}$=$-\frac{1}{8}$-$\frac{1}{e}$＜0．∴$\frac{3e-8}{8e}$＜$\frac{1}{2}$=f（x）．
因此h（x）＞$\frac{3e-8}{8e}$成立．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、证明不等式、函数零点，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．