Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的两焦点分别为F₁、F₂，以F₁、F₂为边作等边三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率为（　　）

A．4(2- 3 )

B． 3 -1

C． 1 2 ( 3 +1)

D． 1 4 ( 3 +2)

Answer 1

由△PF₁F₂为正三角形可得∠PF₁F₂=∠PF₂F₁=60°
则直线PF₁，PF₂的斜率分别为

3

，-

3

则直线PF₁，PF₂所在的直线方程分别为y=

3

(x+c)，y=-

3

(x-c)，
其交点P（0，

3

c），而PF₁中点M（-

1

2

c，

3

2

c）在椭圆上，代入椭圆的方程可得

c2

4a2

+

3c2

4b2

=1
整理可得，c²（a²-c²）+3c²a²=4a²（a²-c²）
∴4a⁴-8a²c²+c⁴=0
两边同时除以a⁴可得，e⁴-8e²+4=0
∵0＜e＜1
∴e2=4-2

3

，e2=2+

3

（舍）
∴e=2-

3

故选：B