Question

已知

a

=（2cosα，2sinα），

b

=（cosβ，sinβ），0＜α＜β＜2π．
（1）若

a

⊥

b

，求|

a

-2

b

|的值；
（2）设

c

=（2，0），若

a

+2

b

=

c

，求cos（α-β）的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）根据向量数量积计算即可．
（2）由题意得到cosα+cosβ=1，sinα+sinβ=0，同时平方得（cosα+cosβ）²+（sinα+sinβ）²=1，化简即可．

解答： 解：（1）∵

a

=（2cosα，2sinα），

b

=（cosβ，sinβ），
∴|

a

|=2，|

b

|=1，
∵

a

⊥

b

，
∴

a

•

b

=0，
∴|

a

-2

b

|2=|

a

|2+4|

b

|2-4

a

•

b

=4+4-0=8
∴|

a

-2

b

|=2

2

（2）∵

c

=

a

+2

b

∴（2，0）=（2cosα+2cosβ，2sinα+2sinβ）
∴2cosα+2cosβ=2，2sinα+2sinβ=0，
∴cosα+cosβ=1，sinα+sinβ=0，
∴（cosα+cosβ）²+（sinα+sinβ）²=1，
∴1+1+2cosαcosβ+2sinαsinβ=1
∴cos(α-β)=-

1

2

点评：本题主要考查了向量的数量积得运算和余弦的和差运算，属于基础题．