Question

如图，一水渠的横断面是抛物线形，O是抛物线的顶点，口宽EF=4米，高3米
（1）建立适当的直角坐标系，求抛物线方程．
（2）现将水渠横断面改造成等腰梯形ABCD，要求高度不变，只挖土，不填土，求梯形ABCD的下底AB多大时，所挖的土最少？

Answer 1

（1）如图以O为原点，AB所在的直线为X轴，建立平面直角坐标系，
则F（2，3），设抛物线的方程是x²=2py（p＞0）
因为点F在抛物线上，所以4=2p×3，p=

2

3

所以抛物线的方程是x2=

4

3

y（5分）
（2）等腰梯形ABCD中，AB∥CD，线段AB的中点O是抛物线的顶点，AD，AB，BC分别与抛物线切于点M，O，N
y'=

3

2

x，设N（x₀，y₀），x₀＞0，，
则抛物线在N处的切线方程是y-y₀=

3

2

x0(x-x0)，所以B(

1

2

x0，0)C(

4+x02

2x0

，3)，（10分）
梯形ABCD的面积是S=

1

2

(x0+

4+x02

2x0

)×3=

3

2

(2x0+

4

x0

)=3(x0+

2

x0

)≥6

2

，等号当且仅当x0=

2

时成立，
答：梯形ABCD的下底AB=

2

米时，所挖的土最少（12分）