精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知抛物线的方程为,直线的方程为,点关于直线的对称点在抛物线上.
(1)求抛物线的方程;
(2)已知,点是抛物线的焦点,是抛物线上的动点,求的最小值及此时点的坐标;
(3)设点是抛物线上的动点,点是抛物线与轴正半轴交点,是以为直角顶点的直角三角形.试探究直线是否经过定点?若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理由.
(1);(2)详见解析;(3).

试题分析:(1)求出点关于直线的对称点的坐标,然后将对称点的坐标代入抛物线的方程求出的值,从而确定抛物线的方程;(2)结合图象与抛物线的定义确定点三点共线求出的最小值,并确定的直线方程,将直线方程与抛物线方程联立求出点的坐标;(3)上点,利用得到得到之间的关系,从而确定直线的方程,结合之间的关系,从而确定直线所过的定点.
(1)设点关于直线的对称点为坐标为
解得
把点代入,解得
所以抛物线的方程为
(2)是抛物线的焦点,抛物线的顶点为
抛物线的准线为
过点作准线的垂线,垂足为,由抛物线的定义知,
,当且仅当三点共线时“”成立,
即当点为过点所作的抛物线准线的垂线与抛物线的交点时,取最小值,

,这时点的坐标为
(3)所在的直线经过定点,该定点坐标为
,可得点的坐标为
,,显然

,即
直线的方程为

所以直线经过定点.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(2013·上海高考)如图,已知双曲线C1-y2=1,曲线C2:|y|=|x|+1.P是平面内一点.若存在过点P的直线与C1,C2都有共同点,则称P为“C1-C2型点”.

(1)在正确证明C1的左焦点是“C1-C2型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证).
(2)设直线y=kx与C2有公共点,求证|k|>1,进而证明原点不是“C1-C2型点”.
(3)求证:圆x2+y2=内的点都不是“C1-C2型点”.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,椭圆的中心为原点,长轴在轴上,离心率,又椭圆上的任一点到椭圆的两焦点的距离之和为.

(1)求椭圆的标准方程;
(2)若平行于轴的直线与椭圆相交于不同的两点,过两点作圆心为的圆,使椭圆上的其余点均在圆外.求的面积的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,一水渠的横断面是抛物线形,O是抛物线的顶点,口宽EF=4米,高3米
(1)建立适当的直角坐标系,求抛物线方程.
(2)现将水渠横断面改造成等腰梯形ABCD,要求高度不变,只挖土,不填土,求梯形ABCD的下底AB多大时,所挖的土最少?

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

设直线与双曲线的两条渐近线分别交于,若满足,则双曲线的离心率是         .

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

在平面直角坐标系中,已知椭圆的焦点在轴上,离心率为,且经过点
(1)求椭圆的标准方程;
(2) 以椭圆的长轴为直径作圆,设为圆上不在坐标轴上的任意一点,轴上一点,过圆心作直线的垂线交椭圆右准线于点.问:直线能否与圆总相切,如果能,求出点的坐标;如果不能,说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

设抛物线的焦点为,已知为抛物线上的两个动点,且满足,过弦的中点作抛物线准线的垂线,垂足为,则的最大值为     .

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

是双曲线的右支上一点,分别是圆上的点,则的最大值等于           .

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知双曲线=1的左支上一点M到右焦点F2的距离为18,N是线段MF2的中点,O是坐标原点,则|ON|等于(  )
A.4B.2 C.1 D.

查看答案和解析>>

同步练习册答案