Question

已知正方体ABCD-A′B′C′D′中，对角线A′C与平面BC′D交于点O，AC、BD交于M，求证：C′、O、M共线．

Answer 1

考点：三点共线

专题：空间位置关系与距离

分析：欲证C′，O，M三点共线，只须证它们都在平面A′ACC′与平面DBC′的交线上，根据立体几何中的公理可知，只要说明C′，O，M三点是平面A′ACC′与平面DBC′的公共点即可．

解答： 证明：如图，∵C′∈平面A₁ACC′，且C′∈平面DBC′，
∴C′是平面A₁ACC′与平面DBC′的公共点，
又∵M∈AC，
∴M∈平面A′ACC′，
∵M∈BD，
∴M∈平面DBC′，
∴M也是平面A′ACC′与平面DBC′的公共点，
∴C′M是平面A′ACC′与平面DBC′交线，
∵O是A′C与平面DBC′的交点，
∴O∈平面A′ACC′，O∈平面DBC₁，
∴O也是平面A′ACC′与平面DBC′的公共点，
∴O∈直线C′M，
即C′，O，M三点共线．

点评：本题主要考查了平面的基本性质及推论，做题时目标明确，知道要证什么就需证什么，掌握基本方法．