【题目】已知向量 
， 
满足| |= 
，| |=1，且对任意实数x，不等式| +x |≥| + |恒成立，设 与 的夹角为θ，则tan2θ=（ ）
A.﹣ 
B.
C.﹣ 
D.
【答案】D
【解析】解：由平面向量加法的几何意义，只有当（ 
） 
时，对于任意实数x，不等式| 
+x 
|≥| + |恒成立，如图所示， 
设 
或 
，
斜边大于直角边恒成立，
则不等式| +x |≥| + |恒成立，
∵向量 ， 满足| |= 
，| |=1，
∴tanθ=﹣2，
∴tan2θ= 
．
故选：D．
另：将不等式| +x |≥| + |两边平方得到不等式| +x |2≥| + |2 ， 展开整理得得， 
恒成立，
所以判别式 
，解得cosθ= 
，sinθ= 
，所以tanθ=﹣2，tan2θ= 
；
故选D．
【考点精析】通过灵活运用数量积表示两个向量的夹角，掌握设
、
都是非零向量，
，
，
是与
的夹角，则
即可以解答此题．
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【题目】定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）= 
，且f（x）在[﹣3，﹣2]上是减函数，若α，β是锐角三角形的两个内角，则（ ）
A.f（sinα）＞f（sinβ）
B.f（cosα）＞f（cosβ）
C.f（sinα）＞f（cosβ）
D.f（sinα）＜f（cosβ）
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【题目】设数列{an}的前n项和为Sn ． 已知a1=1， 
=an+1﹣ 
n2﹣n﹣ 
，n∈N* ．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}满足an﹣an﹣1=bna 
，求数列{bn}的n前项和Tn；
（3）是否存在实数λ，使得不等式λa 
﹣ 
+a + 
≥0恒成立，若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．
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【题目】已知椭圆
： 
的短轴长为
，右焦点为
，点
是椭圆
上异于左、右顶点
的一点．
（1）求椭圆
的方程；
（2）若直线
与直线
交于点
，线段
的中点为
，证明：点
关于直线
的对称点在直线
上．
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【题目】已知函数f（x）=2cos（ωx+ 
）（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为10π．
（1）求ω的值；
（2）设α，β∈[0， 
]，f（5α+ 
）=﹣ 
，f（5β﹣ 
）= 
，求cos（α+β）的值．
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【题目】函数f（x）=x2+ax+3．
（1）当x∈R时，f（x）≥a恒成立，求a的取值范围．
（2）当x∈[﹣2，2]时，f（x）≥a恒成立，求a的取值范围．
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【题目】下列判断：
①从个体编号为1，2，…，1000的总体中抽取一个容量为50的样本，若采用系统抽样方法进行抽取，则分段间隔应为20；
②已知某种彩票的中奖概率为 
，那么买1000张这种彩票就一定会中奖（假设该彩票有足够的张数）；
③从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，恰有1个黒球与恰有2个黒球是互斥但不对立的两个事件；
④设具有线性相关关系的变量的一组数据是（1，3），（2，5），（3，6），（6，8），则它们的回归直线一定过点（3， 
）．
其中正确的序号是（ ）
A.①、②、③
B.①、③、④
C.③、④
D.①、③
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【题目】已知二次函数f（x）=x2﹣ax+a（x∈R）同时满足：
①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；
②在定义域内存在0＜x1＜x2 ， 使得不等式f（x1）＞f（x2）成立．设数列{an}的前n项和Sn=f（n）．
（1）求f（x）的表达式；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设 
，cn= 
，{cn}的前n项和为Tn ， 若Tn＞2n+t对任意n∈N，n≥2恒成立，求实数t的取值范围．
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