Question

定义在区间[-

2

3

π，π]上的函数y=f（x）的图象关于直线x=

π

6

对称，当x∈[-

2

3

π，

π

6

]时，函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其图象如图所示．

（Ⅰ）求函数y=f（x）在[-

2

3

π，π]的表达式；
（Ⅱ）求方程f（x）=

2

的解；
（Ⅲ）是否存在常数m的值，使得|f（x）-m|＜2在x∈[-

2π

3

，π]上恒成立；若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当x∈[-

2π

3

，

π

6

]时，由图象可求得f（x），由y=f（x）的图象关于直线x=

π

6

对称，则f（x）=f（

π

3

-x），当

π

6

≤x≤π时，易求f（

π

3

-x）；
（Ⅱ）分-

2π

3

≤x≤

π

6

，

π

6

≤x≤π两种情况进行讨论可解方程；
（Ⅲ）由条件得：m-2＜f（x）＜m+2在x∈[-

2π

3

，π]上恒成立，可转化为函数的最值解决，而最值可借助图象求得；

解答：解：（Ⅰ）x∈[-

2π

3

，

π

6

]，A=2，

T

4

=-

π

6

-(-

2π

3

)，∴T=2π，ω=1，
且f（x）=2sin（x+φ）过（-

π

6

，2），
∵0＜φ＜π，∴-

π

6

+φ=

π

2

，φ=

2π

3

，
f（x）=2sin（x+

2π

3

），
当

π

6

≤x≤π时，-

2π

3

≤

π

3

-x≤

π

6

，f（

π

3

-x）=2sin（

π

3

-x+

2π

3

）=2sin（π-x）=2sinx，
而函数y=f（x）的图象关于直线x=

π

6

对称，则f（x）=f（

π

3

-x），即f（x）=2sinx，

π

6

≤x≤π，
∴f（x）=

2sin(x+ 2π 3 )，x∈[- 2π 3 ， π 6 ] 2sinx，x∈[ π 6 ，π]

；
（Ⅱ）当-

2π

3

≤x≤

π

6

时，f（x）=2sin（x+

2π

3

）=

2

，sin（x+

2π

3

）=

2

2

，
∴x+

2π

3

=

π

4

或

3π

4

，即x=-

5π

12

或

π

12

，
当

π

6

≤x≤π时，f（x）=2sinx=

2

，sinx=

2

2

，∴x=

π

4

或

3π

4

，
∴方程f（x）=

2

的解集是{-

5π

12

，

π

12

，

π

4

，

3π

4

}，
（Ⅲ）存在，假设存在，由条件得：m-2＜f（x）＜m+2在x∈[-

2π

3

，π]上恒成立，
即

x∈[- 2π 3 ，π] [f(x)]min＞m-2 [f(x)]max＜m+2

，
由图象可得：

m-2＜0 m+2＞2

，解得0＜m＜2．

点评：本题考查恒成立问题、三角函数解析式的求解及其图象性质，考查数形结合思想，考查学生解决问题的能力．