Question

设复数z满足|z|=5，且（3+4i）z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，若|

2

z-m|=5

2

 （m∈R），求z和m的值．

Answer 1

分析：设出复数z，利用|z|=5，且（3+4i）z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，得到方程组，求出复数z，
然后利用|

2

z-m|=5

2

 （m∈R），求出实数m即可．

解答：解：设z=x+yi（x，y∈R），由|z|=5，得x²+y²=25 （2分）
（3+4i）z=（3+4i）（x+yi）=（3x-4y）+（4x+3y）i（3分）
又因为（3+4i）z在复平面上对应的点在第二、四象限平分线上，
所以，（3x-4y）+（4x+3y）=0，得y=7x，
由

y=7x x2+y2=25

⇒

x= 2 2 y= 7 2 2

或

x=- 2 2 y=- 7 2 2

即z=

2

2

+

7 2

2

i或z=-

2

2

-

7 2

2

i （7分）
当z=

2

2

+

7 2

2

i时，由|

2

z-m|=5

2

即|1+7i-m|=5

2

，得m=0或m=2 （9分）
当z=-

2

2

-

7 2

2

i时，由|

2

z-m|=5

2

即|-1-7i-m|=5

2

，得m=0或m=-2 （12分）

点评：本题考查复数的求法，模的应用，正确利用已知条件，处理好关系，得到方程组是解题的关键．