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    设椭圆E：的焦点在x轴上．

    (1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；

    (2)设F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q.证明：当a变化时，点P在某定直线上．

     

    （1）

    （2）见解析

    【解析】(1)因为椭圆的焦点在x轴上且焦距为1，所以2a2－1＝，解得a2＝.

    故椭圆E的方程为.

    (2)证明　设P(x0，y0)，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝.

    由题设知x0≠c，则直线F1P的斜率kF1P＝，

    直线F2P的斜率kF2P＝.

    故直线F2P的方程为y＝(x－c)．

    当x＝0时，y＝，即点Q坐标为.

    因此，直线F1Q的斜率为kF1Q＝.

    由于F1P⊥F1Q，所以kF1P·kF1Q＝.

    化简得＝－(2a2－1)．①

    将①代入椭圆E的方程，由于点P(x0，y0)在第一象限，解得x0＝a2，y0＝1－a2，即点P在定直线x＋y＝1上．

     

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