Question

【题目】已知函数，其中，a为实数．

（1）当函数的图像在上与x轴有唯一的公共点时，求实数a的取值范围；

（2）当时，求函数在上的最大值与最小值．

Answer 1

【答案】（1），或，或；（2）最大值为，最小值为

【解析】

由已知有．

（1）由函数的图像与x轴公共点的横坐标是二次方程的实数根得．

下面分三种情形讨论．

（i）当时，有．

进而，是函数的图像在上与x轴的唯一公共点，故为所求．

（ii）当时，有．进而，．

又由函数的图像在上与x轴有唯一的公共点，得，即．解得．

（iii）当时，有．进而，．

又由函数的图像在上与x轴有唯一的公共点，得，即．解得．

所以，实数a的取值范围为，或，或．

（2）当时，有，且的两个根为，只有在上．

则在上单调递减，在上单调递增，且．

因此，函数在上的最大值为，最小值为．