【题目】(Ⅰ)设命题实数
满足
,其中
,命题
实数
满足
.若
是
的充分不必要条件,求实数
的取值范围.
(Ⅱ)已知命题方程
表示焦点在x轴上双曲线;命题
空间向量
,
的夹角为锐角,如果命题“
”为真,命题“
”为假.求
的取值范围;
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【题目】在直角坐标坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),曲线
:
.以
为极点,
轴的非负半轴为极轴,与直角坐标系
取相同的长度单位,建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)射线(
)与曲线
的异于极点的交点为
,与曲线
的交点为
,求
.
【答案】(1) 的极坐标方程为
,
的极坐标方程为
;(2)
.
【解析】试题分析:(1)先根据三角函数平方关系消参数得曲线,再根据
将曲线
的
极坐标方程;(2)将
代人曲线
的极坐标方程,再根据
求
.
试题解析:(1)曲线的参数方程
(
为参数)
可化为普通方程,
由,可得曲线
的极坐标方程为
,
曲线的极坐标方程为
.
(2)射线(
)与曲线
的交点
的极径为
,
射线(
)与曲线
的交点
的极径满足
,解得
,
所以.
【题型】解答题
【结束】
23
【题目】设函数.
(1)设的解集为
,求集合
;
(2)已知为(1)中集合
中的最大整数,且
(其中
,
,
为正实数),求证:
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知向量 ,其中
.函数
的图象过点
,点
与其相邻的最高点的距离为4.
(Ⅰ)求函数的单调递减区间;
(Ⅱ)计算的值;
(Ⅲ)设函数,试讨论函数
在区间 [0,3] 上的零点个数.
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【题目】如图1,在△中,
,
分别为
,
的中点,
为
的中点,
,
.将△
沿
折起到△
的位置,使得平面
平面
,
为
的中点,如图2.
(1)求证: 平面
;
(2)求证:平面平面
;
(3)线段上是否存在点
,使得
平面
?说明理由.
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【题目】济南市某中学高三年级有1000名学生参加学情调研测试,用简单随机抽样的方法抽取了一个容量为50的样本,得到数学成绩的频率分布直方图如图所示.
(1)求第四个小矩形的高,并估计本校在这次统测中数学成绩不低于120分的人数和这1000名学生的数学平均分;
(2)已知样本中,成绩在[140,150]内的有2名女生,现从成绩在这个分数段的学生中随机选取2人做学习交流,求选取的两人中至少有一名女生的概率.
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【题目】有下列命题:①若,则
;②若
,则存在唯一实数
,使得
;③若
,则
;④若
,且
与
的夹角为钝角,则
;⑤若平面内定点
满足
,则
为正三角形.其中正确的命题序号为 ________.
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【题目】已知椭圆:
的左、右焦点分别为
,
,且离心率为
,
为椭圆上任意一点,当
时,
的面积为1.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知点是椭圆
上异于椭圆顶点的一点,延长直线
,
分别与椭圆交于点
,
,设直线
的斜率为
,直线
的斜率为
,求证:
为定值.
【答案】(1);(2)
【解析】试题分析:(1)设由题
,由此求出
,可得椭圆
的方程;
(2)设,
,
当直线的斜率不存在时,可得
;
当直线的斜率不存在时,同理可得
.
当直线、
的斜率存在时,
,
设直线的方程为
,则由
消去
通过运算可得
,同理可得
,由此得到直线
的斜率为
,
直线
的斜率为
,进而可得
.
试题解析:(1)设由题
,
解得,则
,
椭圆
的方程为
.
(2)设,
,
当直线的斜率不存在时,设
,则
,
直线的方程为
代入
,可得
,
,
,则
,
直线
的斜率为
,直线
的斜率为
,
,
当直线的斜率不存在时,同理可得
.
当直线、
的斜率存在时,
,
设直线的方程为
,则由
消去
可得:
,
又,则
,代入上述方程可得
,
,则
,
设直线的方程为
,同理可得
,
直线
的斜率为
,
直线
的斜率为
,
.
所以,直线与
的斜率之积为定值
,即
.
【题型】解答题
【结束】
21
【题目】已知函数,
,在
处的切线方程为
.
(1)求,
;
(2)若方程有两个实数根
,
,且
,证明:
.
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