Question

【题目】有下列命题：①若，则；②若，则存在唯一实数，使得；③若，则；④若，且与的夹角为钝角，则；⑤若平面内定点满足，则为正三角形.其中正确的命题序号为 ________.

Answer 1

【答案】③⑤

【解析】

①：根据零向量与任一平面向量平行进行判断即可；

②：根据零向量与任一平面向量平行进行判断即可；

③：对已知向量等式进行平方，根据平面向量的运算性质进行求解即可；

④：根据平面向量夹角的坐标表示公式，结合钝角的取值范围进行求解即可；

⑤：根据平面向量加法的几何意义，结合可以判断出点是的重心，再根据平面向量减法的几何意义，结合，可以判断出点是的垂心，这样可以确定的形状.

①：当时，显然满足，但是不一定成立，故本命题是假命题；

②：当时，显然成立，存在实数，使得，但是不是唯一的，故本命题是假命题；

③：因为，

所以，故本命题是真命题；

④：设与的夹角为，所以当时，

则有且，

即且，

解得且，故本命题是假命题；

⑤：因为所以，设中边上的中点为，

如图所示；

由平面向量的加法的几何意义可知；，

所以，因此点是的重心.

，

因此有，同理可得，所以点是的垂心，

因此为正三角形，故本命题是真命题.

故答案为；③⑤