Question

【题目】如图，在三棱柱中， ，平面平面.

（1）求证： ；

（2）若，求.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）第（1）问，通过证明C1C⊥平面A1BC得到CC1⊥A1B． (2)第（2）问，以C为坐标原点，分别以的方向为x轴，y轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角A1-BC1-A的余弦值 .

试题解析：

（1）因为平面AA1C1C⊥平面ABC，交线为AC，又BC⊥AC，

所以BC⊥平面AA1C1C，

因为C1C平面AA1C1C，

从而有BC⊥C1C．

因为∠A1CC1＝90°，所以A1C⊥C1C，

又因为BC∩A1C＝C，

所以C1C⊥平面A1BC，

A1B平面A1BC，所以CC1⊥A1B．

（2）如图，以C为坐标原点，分别以的方向为x轴，y轴的正方向建立空间直角坐标系C-xyz．

由∠A1CC1＝90°，AC＝AA1得A1C＝AA1．

不妨设BC＝AC＝AA1＝2，

则B(2，0，0)，C1(0，－1，1)，A(0，2，0)，A1(0，1，1)，

所以＝(0，－2，0)， ＝(－2，－1，1)， ＝(2，－2，0)，

设平面A1BC1的一个法向量为，

由·＝0， ·＝0，可取＝(1，0，2)．

设平面ABC1的一个法向量为，

由·＝0， ·＝0，可取＝(1，1，3)．

cos， ＝＝，

又因为二面角A1-BC1-A为锐二面角，

所以二面角A1-BC1-A的余弦值为．