Question

9．若对于任意的x＞0，不等式$\frac{x}{{x}^{2}+2x+4}$≤a恒成立，则实数a的取值范围为[$\frac{1}{6}$，+∞）．

Answer 1

分析 由x＞0，$\frac{x}{{x}^{2}+2x+4}$=$\frac{1}{x+\frac{4}{x}+2}$，运用基本不等式可得最大值，由恒成立思想可得a的范围．

解答 解：由x＞0，$\frac{x}{{x}^{2}+2x+4}$=$\frac{1}{x+\frac{4}{x}+2}$
≤$\frac{1}{2\sqrt{x•\frac{4}{x}}+2}$=$\frac{1}{6}$，
当且仅当x=2时，取得最大值$\frac{1}{6}$．
所以要使不等式$\frac{x}{{x}^{2}+2x+4}$≤a恒成立，
则a≥$\frac{1}{6}$，
即实数a的取值范围为[$\frac{1}{6}$，+∞）．
故答案为：[$\frac{1}{6}$，+∞）．

点评 本题考查函数的恒成立问题的解法，注意运用基本不等式求得最值，考查运算能力，属于中档题．