为了调查学生星期天晚上学习时间利用问题.某校从高二年级100名学生(其中走读生450名.住宿生550名)中.采用分层抽样的方法抽取n名学生进行问卷调查.根据问卷取得了这n名同学每天晚上学习时间的数据.按照以下区间分为八组①[0.30).②[30.60)③[60.90)④[90.120)⑤[120.150)⑥[150.180)⑦[180.210)⑧[210.240).得到频率布直� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

为了调查学生星期天晚上学习时间利用问题，某校从高二年级100名学生（其中走读生450名，住宿生550名）中，采用分层抽样的方法抽取n名学生进行问卷调查，根据问卷取得了这n名同学每天晚上学习时间（单位：分钟）的数据，按照以下区间分为八组
①[0，30），②[30，60）③[60，90）④[90，120）⑤[120，150）⑥[150，180）⑦[180，210）⑧[210，240），得到频率布直方图如图，已知抽取的学生中星期天晚上学习时间少于60分钟的人数为5人．
（1）求n的值并补全下列频率分布直方图；
（2）如果把“学生晚上学习时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的n名学生，完成下列2×2列联表：

	利用时间充分	利用时间不充分	合计
走读生
住校生		10
合计

据此资料，你是否认为学生“利用时间是否充分”与走读、住校有关？
（3）若在第①组、第②组共抽出2人调查影响有效利用时间的原因，求抽出的2人中第①组第②组各有1人的概率．

考点：频率分布直方图,列举法计算基本事件数及事件发生的概率

专题：概率与统计

分析：（1）由分层抽样及频率分布直方图的特点即可求得结果；
（2）由分布直方图可完成表格，再将数据带入给定的公式即可；
（3）先列出基本事件总数的情况，再挑出满足条件的情况即可．

解答： 解：（1）设第i组的频率为P_i（i=1，2，…，8），

由图可知：P₁=

1500

×30=

100

，P₂=

1000

×30=

100

，
∴学习时间少于60分钟的频率为P₁+P₂=

100

，
由题意：n×

100

=5
∴n=100，
又P₃=

375

×30=

100

，P₅=

100

×30=

100

，
P₆=

120

×30=

100

，P₇=

200

×30=

100

，P₈=

600

×30=

100

，
∴P₄=1-（P₁+P₂+P₃+P₅+P₆+P₇+P₈）=

100

，
∴第④组的高度为：h=

100

3000

250

，
频率分布直方图如右图
（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，
“走读生”有45人，利用时间不充分的有40人，
从而2×2列联表如下：

	利用时间充分	利用时间不充分	总计
走读生	30	15	45
住宿生	45	10	55
总计	75	25	100

将2×2列联表中的数据代入公式计算，得
K²=

100(30×10-45×15)2

(30+45)(15+10)(30+15)(45+10)

100

≈3.030，
因为3.030＜3.841，
所以没有理由认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关；
（3）记第①组2人为A₁、A₂，第②组的3人为B₁、B₂、B₂，则“从5人中抽取2人”
所构成的基本事件空间Ω=“A₁A₂、A₁B₁、A₁B₂、A₁B₃、A₂B₁、A₂B₂、A₂B₃、
B₁B₂、B₁B₃、B₂B₃”，共10个基本事件；
记“抽取2人中第①组、第②组各有1人”记作事件A，
则事件A所包含的基本事件有：A₁B₁、A₁B₂、A₁B₃、
A₂B₁、A₂B₂、A₂B₃共6个基本事件，
∴P（A）=

，
即抽出的2人中第①组第②组各有1人的概率为

．

点评：本题考查频率分布直方图及概率的计算，做题时要认真审题，弄清题意，属基础题．

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