Question

函数f（x）=sinxcosx-

3

cos（π+x）cosx（x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的值域、单调区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）首先利用三角函数的恒等变换把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型公式求出函数的最小正周期．
（2）利用整体思想求出函数的值域和单调区间．

解答： 解：（1）f（x）=sinxcosx-

3

cos（π+x）cosx
=

1

2

sin2x+

3

•

cos2x+1

2

=sin(2x+

π

3

)+

3

2

所以函数f（x）的正周期为：T=

2π

2

=π．
（2）①x∈R
所以：-1≤sin(2x+

π

3

)≤1．
则：

3

2

-1≤f(x)≤1+

3

2

②令：-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ（k∈Z）
解得：-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ
所以函数的单调增区间为：[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]（k∈Z）．
令：

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z）
解得：

π

12

+kπ≤x≤

7π

12

+kπ
所以函数的单调递减区间为：[

π

12

+kπ，

7π

12

+kπ]（k∈Z）．

点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的周期的公式的应用，正弦型函数单调性的应用．