Question

在直角坐标系xOy中，圆C₁和C₂的参数方程分别是

x=2+2cosφ y=2sinφ

（φ为参数）和

x=cosφ y=1+sinφ

（φ为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆C₁和C₂的极坐标方程；
（2）射线OM：θ=a与圆C₁的交点为O、P，与圆C₂的交点为O、Q，求|OP|•|OQ|的最大值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）首先把两圆的参数方程转化成直角坐标方程，再把直角坐标方程为转化成极坐标方程．
（2）根据圆的坐标形式．利用两点间的距离公式，再利用换元法进一步求出最值．

解答： 解：（1）圆C₁

x=2+2cosφ y=2sinφ

（φ为参数），
转化成直角坐标方程为：（x-2）²+y²=4
即：x²+y²-4x=0
转化成极坐标方程为：ρ²=4ρcosθ
即：ρ=4cosθ
圆C₂

x=cosφ y=1+sinφ

（φ为参数），
转化成直角坐标方程为：x²+（y-1）²=1
即：x²+y²-2y=0
转化成极坐标方程为：ρ²=2ρsinθ
即：ρ=2sinθ
（2）射线OM：θ=α与圆C₁的交点为O、P，与圆C₂的交点为O、Q
则：P（2+2cosα，2sinα），Q（cosα，1+sinα）
则：|OP|=

4(cosα+1)2+4sin2α

=

8+8cosα

，
|OQ|=

cos2α+(1+sinα)2

=

2+2sinα

则：|OP||OQ|=

(8+8cosα)(2+2sinα)

=4

1+sinα+cosα+sinαcosα

设sinα+cosα=t（1≤t≤

2

）
则：sinαcosα=

t2-1

2

则关系式转化为：
4

1+t+ t2-1 2

=4

|t+1|

2

=2

2

|t+1|
由于：1≤t≤

2

所以：（|OP||OQ|）_max=2

2

(

2

+1)=4+2

2

．

点评：本题考查的知识要点：参数方程和直角坐标方程及极坐标方程之间的相互转化，三角函数关系式的恒等变换，利用换元法求三角函数的最值问题．