Question

已知f（x）是定义在[1，+∞]上的函数，且f（x）=

1-|2x-3|，1≤x＜2 1 2 f( 1 2 x)，x≥2

，则函数y=2xf（x）-3在区间（1，2015）上零点的个数为

 

．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：令函数y=2xf（x）-3=0，得到方程f（x）=

3

2x

，从而化函数的零点为方程的根，再转化为两个函数的交点问题，从而解得．

解答： 解：令函数y=2xf（x）-3=0，得到方程f（x）=

3

2x

，
当x∈[1，2）时，函数f（x）先增后减，在x=

3

2

时取得最大值1，
而y=

3

2x

在x=

3

2

时也有y=1；
当x∈[2，2²）时，f（x）=

1

2

f（

1

2

x），在x=3处函数f（x）取得最大值

1

2

，
而y=

3

2x

在x=3时也有y=

1

2

；
当x∈[2²，2³）时，f（x）=

1

2

f（

1

2

x），在x=6处函数f（x）取得最大值

1

4

，
而y=

3

2x

在x=6时也有y=

1

4

；
…，
当x∈[2¹⁰，2¹¹）时，f（x）=

1

2

f（

1

2

x），在x=1536处函数f（x）取得最大值

1

210

，
而y=

3

2x

在x=1536时也有y=

1

210

；
综合以上分析，将区间（1，2015）分成11段，每段恰有一个交点，所以共有11个交点，即有11个零点．
故答案为：11．

点评：本题考查了函数的零点与方程的根的关系及函数的交点的应用，属于基础题．