Question

已知数列{a_n}为等差数列，a₃=5，a₄+a₈=22．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n及前n项和公式S_n；
（2）令b_n=

n+1

SnSn+2

，求证：b₁+b₂+…b_n＜

5

16

．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知求出等差数列的首项和公差，代入等差数列的通项公式和前n项和得答案；
（2）把等差数列的前n项和代入b_n=

n+1

SnSn+2

，列项和求出b₁+b₂+…b_n，放缩后得答案．

解答： （1）解：由a₄+a₈=22得：a₆=11，
又a₃=5，
∴d=2，
则a₁=a₃-2d=1．
∴a_n=2n-1；
S_n=na1+

n(n-1)d

2

=n+

2n(n-1)

2

═n² ；
（2）证明：b_n=

n+1

SnSn+2

=

n+1

n2(n+2)2

=

1

4

(

1

n2

-

1

(n+2)2

)，
当n=1时，b₁=

2

12×32

=

2

9

＜

5

16

，原不等式成立；
当n≥2时，
b₁+b₂+…+b_n=

1

4

(

1

12

-

1

32

+

1

22

-

1

42

+…+

1

n2

-

1

(n+2)2

)
=

1

4

(

1

12

+

1

22

-

1

n2

-

1

(n+2)2

)＜

1

4

(1+

1

4

)-

1

4

(

1

n2

+

1

(n+1)2

)=

5

16

-

1

4

(

1

n2

+

1

(n+1)2

)＜

5

16

．
∴b₁+b₂+…+b_n＜

5

16

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式，训练了裂项相消法求数列的和，训练了放缩法证明数列不等式，是中档题．