Question

已知集合A={x|x=f（x），x∈R}，B={x|x=f[f（x）]，x∈R}，其中f（x）是一个二次项系数为1的二次函数，若A是单元素集合时，求证：A=B．

Answer 1

考点：集合的相等

专题：集合

分析：集合A与B，即方程f（x）=x的解集和方程f[f（x）]=x的解集，分别解方程即可得到A、B，从而得出A与B的关系

解答： 证明：∵f（x）是一个二次项系数为1的二次函数，
设f（x）=x²+bx+c
∵A是单元素集合，设A={t}，则f（x）-x=（x-t）²，f（x）=（x-t）²+x
对于B：x=[f（x）-t]²+f（x）=[（x-t）²+x-t]²+（x-t）²+x
∴[（x-t）²+（x-t）]²+（x-t）²=0
∵[（x-t）²+（x-t）]²≥0，（x-t）²≥0
∴[（x-t）²+（x-t）]²=（x-t）²=0
只有x=t一个解
∴B={t}=A

点评：本题考查的知识点是集合的包含关系判断，熟练掌握集合包含的定义是解答的关键